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長方形の美

読者の皆さんも、最も美しい長方形を作る「黄金比」には、ふしぎな数学的性質があるのはご存知ですね?

黄金比の類似品として、白銀比(1:√2)や、青銅比というのもあるんだそうです。

さて、ここでは「数学的に美しい性質をもつほかの数を使った正方形は美しいのか」ということを考えてみたいと思います。VRMブログだったことは忘れましょう(笑)

ちなみに私はアマチュア数学屋もいいとこなので間違いなどあればご指摘ください。

1. ネイピア数(2.71828....)

よく「自然対数の底」と呼んでいるeのことです。(1+1/n)^nのn→∞での極限で表されます。適当な関数電卓で、1.0000001の10000000乗を計算すると近似値が出るかと思います。

eを底とする指数関数y=e^xは、微分してもy=e^xに戻ってくるとか、x=0での接線の傾きが1になっていたりという性質があります。

Twhead_cosmos001

1:eの比で画像を切り出してみた例です。きれい…でしょうか。

2. 円周率(3.14159....)

次に円周率πです。よくご存じだと思いますので説明は省略。

Wingbridge

先ほどよりちょっと横長です。うーんきれい…か?

★゜・。。・゜゜・。。・゜☆゜・。。・゜゜・。。・゜★

本当ならば、古美術とか古建築をあたって、このような比率を探したいところですが、まあ個人ブログの戯言なので。

ちなみにネイピア数も円周率も、「超越数」といってどんな整式の解としても表せない数なんだそうですが、黄金数や白銀数と同様に連分数表示ができ、ここにも不思議な性質が現れています。詳しくはWikipedia:連分数を参照のこと。
また、y=e^xをマクローリン展開すると三角関数と繋がり、e^iπ=-1なる不思議な式ができることは有名かもしれません。(虚数単位iは目に見える形で扱えないので長方形が作れませんw)

結論:よう分からん

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